1. 因式分解公式,分数分解因式怎么分解?
分数因式分解的方法?
因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式,轮换对称多项式法,余式定理法,求根公式法,换元法,长除法,短除法,除法等。
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
注意三原则
1 分解要彻底
2 最后结果只有小括号
3 最后结果中多项式首项系数为正
归纳方法:
1、提公因式法。
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。当各项的系数有分数时,公因式系数的分母为各分数分母的最小公倍数,分子为各分数分子的最大公约数(最大公因数)
如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。
口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。
例如:-am+bm+cm=-(a-b-c)m;
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)
注意:把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式
2、公式法。
如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。
平方差公式: (a+b)(a-b)=a^2-b^2
反过来为a^2-b^2=(a+b)(a-b)
完全平方公式:(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
反过来为a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
两根式:ax^2+bx+c=a(x-(-b+√(b^2-4ac))/2a)(x-(-b-√(b^2-4ac))/2a)
立方和公式:a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
立方差公式:a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
完全立方公式:a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3
公式:a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
例如:a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2
3、分组分解法。
4、凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]
5、组合分解法。
6、十字相乘法。
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1.a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)
在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号。
基本式子:x^2+(p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q),所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x^2+7x+12进行因式分解,上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4)
又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5×(-3)。而5+(-3)又恰好等于一次项系数2。所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3)
十字相乘法讲解:
x^2-3x+2
如下:
x -1
╳
x -2
左边x乘x= x^2
右边-1乘-2=2
中间-1乘x+(-2)乘x(对角)=-3x
上边的【x+(-1)】乘下边的【x+(-2)】
就等于(x-1)*(x-2)
x^2-3x+2=(x-1)*(x-2)
7、双十字相乘法。
8、配方法。
9、拆项法。
10、换元法。
11、长除法。
12、加减项法。
13、求根法。
14、图象法。
15、主元法。
16、待定系数法。
17、特殊值法。
18、因式定理法。
2. 因式分解所有常用公式?
因式分解常用公式
①a^2一b^2=(a十b)(a一b)
②a^2十2ab十b^2=(a十b)^2
③a^2一2ab十b^2=(a一b)^2
④Ⅹ^2十(m十n)x十mn=(X十m)(X十n)
⑤a^3士b^3=(a士b)(a^2一十ab十b^2)
3. 3次方因式分解的五个公式?
公式是,a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
a³±3a²b+3ab²±b²=(a±b)³
a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)
4. x的因式分解所有公式?
1. 完全平方式分解:x² - y² = (x+y)(x-y)2. 完全平方式分解:x³ - y³ = (x-y)(x² + xy + y²)3. 完全立方式分解:x³ + y³ = (x+y)(x² - xy + y²)4. 和差立方公式:(x+y)(x² - xy + y²) = x³ + y³5. 平方差公式:x² - y² = (x+y)(x-y)6. 二次方程解公式:ax² + bx + c = 0,则 x = (-b ± √(b² - 4ac))/(2a)7. 二次方程组解公式: 7.1. x = (d*e - f*b)/ (a*e - b*d) 7.2. y = (a*f - c*d)/ (a*e - b*d)8. 四次方程解公式:ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0,一般使用数值算法进行求解。9. 高次方程的根与系数的关系:如果 x = a 是高次方程 axⁿ + bxⁿ⁻¹ + ... + k = 0 的一个根, 那么 (x-a) 是该方程的一个因式。
5. 因式分解的公式和原理?
因式分解公式
公式描述:
式一为平方差公式,式二为完全平方公式,式三为立方差公式,式四为立方和公式,式五为十字相乘法公式。
因式分解的概念:
把一个多项式在一个范围(如有理数范围内分解,即所有项均为有理数)化为几个最简整式的积的形式,这种变形叫做因式分解,也叫作分解因式。
6. 初中数学因式分解公式最全整理?
因式分解是指把一个多项式变为几个整式的积的形式,初中常用的因式分解的方法有:
1.提取公因式法,如:ax+bx=x(a+b) 2.公式法,a平方-b平方=(a+b)(a-b),a平方±2ab+b平方=(a±b)平方 3.十字相乘法,x平方-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)
7. x3次方的因式分解的公式?
x的3次方的因式分解的公式是:
x^3 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
这里的"+1"是因为在指数上,我们通常会把乘法变为加法,以避免指数爆炸。例如,x^2就是(x + 1)(x - 1)。
此外,如果你想要对x的3次方进行因式分解,那么你需要将其分解为两个一次因式的乘积,其中一个因式为x,另一个因式为1 - x。这是因为x^3的因式分解的唯一方法是将其分解为两个一次因式的乘积,其中一个因式为x,另一个因式为1 - x。